Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

 \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2\)

Bài 2: Với mọi n thuộc N, \(n\geq 3\), chnứng minh:

\(\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có

\(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}\)

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta luôn có bất đẳng thức

\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+3n+2}< \frac{1}{2}\)

chứng minh rằng \(1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+...+\frac{2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}< 1\)   với mọi n thuộc Z*

Chứng minh bất đẳng thức

Với n thuộc N, chứng minh \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}>\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\)

Sử dụng kết quả trên, chứng minh: \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}< 2.\sqrt{2012}\)

Chứng minh \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với n thuộc N*

chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1,ta đều có \(\frac{4^n}{n+1}< \frac{\left(2n\right)!}{\left(n!\right)^2}\)

chứng minh rằng với mọi số dương A ta luôn tìm được một số tự nhiên n để :

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>A\)

Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 ta luôn có:

\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)

chứng minh các bdt sau đúng với mọi n thuộc N*

a)\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}>2-\frac{1}{n}\)

b)\(\frac{3}{4}-\frac{1}{4n}>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+.....+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}\)